こんにちは(^^)/
大阪府北摂（吹田市、茨木市）の個別指導塾、優良塾宇野辺校です！


本日は正多面体の面・辺・頂点の数の求め方についてお話します。
（中学1年生の人達は予習のつもりで読んでみて下さい。3学期に習います。）
以下にまとめたのでしっかり覚えておきましょう！

…この表を見て簡単に覚えられますか？
覚えるものではありません。
本来数学とは式を使って理解するものです。
式を使って求める方法を考えてみましょう。

【面の形】

まず、正多面体の面の形はしっかりと理解しておきましょう。

正四面体　　　　　　→正三角形
正六面体（=立方体） →正方形
正八面体　　　　　　→正三角形
正十二面体　　　　　→正五角形
正二十面体　　　　　→正三角形

これは辺の数を考えるときにも必要になるので
図など用いながら覚えてくださいね！

【面の数】

次に面の数は大丈夫ですね？
正〇面体の数字と同じです。

これは簡単ですね！

【辺の数】

辺の数は、以下の式で求まります。

「1つの面の辺の数×面の数÷２」

これはつまり、全ての面をバラバラにしたと考えてください。

例えば正八面体は正三角形が８個集まっています。
正三角形には３本の辺があるので、バラバラ状態では合計で3×8=24本の辺があります。
これを貼り合わせると、2本の辺がそれぞれ1組になって1本になります。
よって、正八面体の辺は24÷2=12本となります。

このように辺の数を求めるには、
辺の形がわかっていないといけません。
しっかり覚えておきましょう！

覚えたら、他の正多面体の辺の数も計算してみましょう！

【頂点の数】

以下の式で求まります。
「1つの面の頂点の数×面の数÷1つの頂点に集まる面の数」

考え方は辺の数と同じで、全ての面をバラバラにしてから割るというものです。
ただし頂点の場合、複数の面の頂点が集まって立体の頂点となるので、
「÷２」ではなく「÷1つの頂点に集まる面の数」となっています。

（立体の形をイメージしてみましょう。）

…実は下に求める式も載せてますので、最後まで読んでみてね(^^)/

正四面体　　　　　　→３面
正六面体（=立方体） →３面
正八面体　　　　　　→４面
正十二面体　　　　　→３面
正二十面体　　　　　→５面

このことを使って、例えば正八面体の頂点の数を求めてみましょう。
正八面体は頂点に4つの面が集まるので、3×8÷4=6個です。

でも頂点に集まる面の数を考えるのはなかなか面倒ですよね…
そんなときは下に便利な公式があります

【頂点の数・別解】

もし、頂点や辺、面の数を考えるのが難しいなら、
以下の式を覚えるのも一つの手段です。

「頂点の数-辺の数+面の数=2」

これは、「オイラー式」という有名な式で、
辺の数・面の数をこの式に代入して頂点の数を求めることができます。

つまり、頂点の数が答えになるよう移項すると…

「頂点の数=辺の数-面の数+2」になります。

例えば、正八面体の頂点の数を求めてみましょう。
正八面体の辺の数は12本・面の数は8枚なので、12-8+2＝6個となります。

【1つの頂点に集まる面の数】

正多角形の1つの頂点に集まる面の数について
法則性から以下の式が導けます！！！

「1つの頂点に集まる面の数＝辺の数×2÷頂点の数」

例えば正八面体では…
辺の数は12、頂点の数は6なので、
12×2÷6=4　ここから頂点に集まる面の数は4つとわかります！！

他の立体も計算してみてくださいね！！

【まとめ】

如何でしたか？
正多面体の性質をイメージして理解すれば辺・頂点の個数も簡単に分かります。
図形といっても数式を使って理解を深めるのは同じです。
（立体の表面積・体積なども同じです。）
数式を使ってイメージを深め、
図形の性質をしっかりマスターしましょう！

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