名学館[茨木水尾校] ブログ

2022.02.10 18:09
大学受験

三倍角ちゃんと覚えてる?

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茨木市にある個別指導塾
名学館茨木水尾校の西(にし)です!

今回は受験生が忘れやすい三倍角の公式について
書いていこうと思います。

三倍角を覚えるのは非常にしんどいと思います。
また三倍角がよくでてくるのは
国公立や私立の二次試験に多いと思います。
私の意見としては覚えるより、
導出できたら良いのではと思います。
なので導出方法をいくつか紹介しようと思います。

①三倍角の公式の紹介

sin3θ=3sinθ−4sin^3θ (^は〜条)
cos3θ=4cos^3θ-3cosθ


これが三倍角の公式です。

②導出の仕方1


一つ目の導出方法は有名なやり方ですが加法定理を使う方法です。

sin3θ=sin(θ+2θ)
   =sinθcos2θ+cosθsin2θ (加法定理)
   =sinθ(1−2sin^2θ)+cosθ⋅2cosθsinθ (二倍角の公式)
=sinθ−2sin^3θ+2(1−sin^2θ)sinθ
=3sinθ−4sin^3θ

cos3θ=cos(θ+2θ)
   =cosθcos2θ-sinθsin2θ (加法定理)
   =cosθ(2cos^2θ-1)-sinθ⋅2sinθcosθ (二倍角の公式)
=2cos^3θ-cosθ-2(1-cos^2θ)cosθ
=4cos^3θ-3cosθ

使ったのは加法定理と二倍角の公式ですね。
三倍角の公式を覚えるよりすでに覚えていて、
短い二倍角の公式や加法定理を使えば簡単に出てしまいます

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③導出の仕方2(数学IIIやっている人限定)

次に紹介するのは複素数を交えた導出の方法です。
これは非常に簡単んで式の展開が
できたら三倍角の公式を出すことができます

ちなみに私はよくこれを使って導出しています。
ド、モアブルの定理より
(cosθ+isinθ)^3=cos3θ+isin3θが得られる。
よって(cosθ+isinθ)^3を展開する。

(cosθ+isinθ)^3=cos^3θ+3icos^2θsinθ3cosθsin^2θisin^3θ

ここでcosの方はド、モアブルの定理より
虚数を展開前に持たないので青の方、
sinの方は虚数を展開前に
持っているので赤の方と考えれば、

sin3θ=3sinθ−4sin^3θ 
cos3θ=4cos^3θ-3cosθ


が導出できる。
この方法は非常に簡単で
誰でも導出できると思います。

◆まとめ
今回は三倍角の公式の導出方法を紹介しました。
他にもいろいろな導出方法があり、
今回紹介した方法よりもっと使いやすいものがあったら、
どんどんそちらを使ってもらいたいと思います。

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