三倍角ちゃんと覚えてる？
茨木市にある個別指導塾
名学館茨木水尾校の西（にし）です！
今回は受験生が忘れやすい三倍角の公式について
書いていこうと思います。
三倍角を覚えるのは非常にしんどいと思います。
また三倍角がよくでてくるのは
国公立や私立の二次試験に多いと思います。
私の意見としては覚えるより、
導出できたら良いのではと思います。
なので導出方法をいくつか紹介しようと思います。
①三倍角の公式の紹介
sin3θ=3sinθ−４sin^3θ (^は〜条）
cos3θ＝４cos^3θ-3cosθ
これが三倍角の公式です。
②導出の仕方１
一つ目の導出方法は有名なやり方ですが加法定理を使う方法です。
sin3θ＝sin(θ＋２θ）
=sinθcos2θ+cosθsin2θ （加法定理）
=sinθ(1−2sin^2θ)+cosθ⋅2cosθsinθ (二倍角の公式）
=sinθ−2sin^3θ+2(1−sin^2θ)sinθ
=3sinθ−４sin^3θ
cos3θ＝cos(θ＋２θ）
=cosθcos2θ-sinθsin2θ （加法定理）
=cosθ(2cos^2θ-1)-sinθ⋅2sinθcosθ (二倍角の公式)
=2cos^3θ-cosθ-2(1-cos^2θ)cosθ
=４cos^3θ-3cosθ
使ったのは加法定理と二倍角の公式ですね。
三倍角の公式を覚えるよりすでに覚えていて、
短い二倍角の公式や加法定理を使えば簡単に出てしまいます。
③導出の仕方２（数学IIIやっている人限定）
次に紹介するのは複素数を交えた導出の方法です。
これは非常に簡単んで式の展開が
できたら三倍角の公式を出すことができます。
ちなみに私はよくこれを使って導出しています。
ド、モアブルの定理より
(cosθ＋isinθ)^3＝cos3θ＋isin3θが得られる。
よって(cosθ＋isinθ)^3を展開する。
(cosθ+isinθ)^3=cos^3θ+3icos^2θsinθ–3cosθsin^2θ–isin^3θ
ここでcosの方はド、モアブルの定理より
虚数を展開前に持たないので青の方、
sinの方は虚数を展開前に
持っているので赤の方と考えれば、
sin3θ=3sinθ−４sin^3θ
cos3θ＝４cos^3θ-3cosθ
が導出できる。
この方法は非常に簡単で
誰でも導出できると思います。
◆まとめ
今回は三倍角の公式の導出方法を紹介しました。
他にもいろいろな導出方法があり、
今回紹介した方法よりもっと使いやすいものがあったら、
どんどんそちらを使ってもらいたいと思います。
この記事を読んだ方はコチラも是非！
効率重視！夏期講習の効果を上げる方法
【新学年対応】人に好かれる自己紹介。
勉強に必要なのは想像力。
成績が上がる子どもの特徴
公式LINEでいつでもお問い合わせできる
最新の記事はコチラ！
個別指導塾 名学館茨木水尾校
・住所: 大阪府茨木市水尾3-16-27
・電話:072-657-1719
・公式LINE
・Instagram